杂性的认识极其缓慢。现在分形理论给我们提供了一个量度复杂性助重要概念：分数维。分数维作为一神新方法，用以量度那些会此就无法定义、那些粗糙、破碎和不规则客体的性质。例如，对于曲折的海岸线，尽管我们知道它在长度上不能精确测量，然而其曲折程度却有某种特征。这样，对于自然现象中的不规则形体，现在有了i种数学上的精彩说明。
应该看到，分形几何的简单性完全不同于欧氏几何的简单性。传统几何学的形体是线和面、圆和球、角和锥；是从现实中抽象出来的，它们使人领悟到以和谐著称的柏拉图哲学。艺术家从它们之中发现了理念的美，托勒密体系的天文学家根据它们建立了棗种宇宙理论。但就复杂性而言，现在它们已被证明是一种错误的抽象。
分形几何作为洞察事物结构本质的钥匙，。揭示的是一种复杂性之中的简单性，分数绍则被证明是一种合适的尺度。在某种意义上，分数维对应于不规则性填充空间的能力。一条欧几里德的一维直线不占据任何空间，而以无限长度充斥有限面积的科契曲线，其外廓线却占据了空间。它多于，根直线而又少于一个平面；它大于＝维却又不到二维。就科契曲线而论、以43倍乘无倔扩展，、算出来的维数是12618。、关于化繁为简的方法论原则，爱因斯坦说：“自然规律的简单性也是一种客观事实，而且正确的概念体系必须使这种简单性功主观方顶和客观方面保持平衡。”简单性原则总是科学发展的个种推动力。问题是过去不恰当地把它和复杂性对立起来，用它来否认事物的复杂性和整体性，结果导致简单化的倾向。事物是复杂的，但复杂性并非随机性，也并非偶然性。分形、理论发展了观察客观性男的新的思维方式，在那些令人望而生畏的复杂现家中，找到了如下规律性。
第一，无限自相激。如果想到埃菲尔铁塔，你便会茅塞顿开。埃菲尔铁塔是谢宾斯基讨垫的三维类似物，它的小梁、构架每大梁不断分成构件更纫的格式，精细的网络结构浑然一体，这类尺度越来越纫的重复结构完全展示了一个新天地。
第二，标度无关性。当曼德布罗特海过ib计算机对雕的价格数据进行格1分析易i发现了令人嫁异的植况。从正态分布伪观点来看是反常的数据，从标度的观点来看却出现了对称牲。和个特殊的价格变化是偶然的和不可预测的，但变化的序列却与标度无关：每天价格变化的曲线和每月价格变化的曲线相当吻合。更惊人的是，根据星德布罗特的分析，价格变化的程度，竞在发生过两次世界大战和一次经济大萧条的剧烈动荡的60年中保持不变。
第三，比例对称。标度无关性必然意味着比例对称。在一种尺度上去寻找图形如海岸线，都是无规的。但在不同尺度上同时去寻找图形，我们却找到了规律性，即不规则程度在不同尺度上重复叠合。这不是左右高低的对称，而是大小比例的对称。分数维形态对于混沌运动的描述是必不可少的。就象无理数远多于有理数的道理一样，非整数维给混沌运动的奇异轨道的构型提供了充分的选择余地。对于混沌，这种结构不一定指它的实际形状，而是指它的行为特征。当我们用相空间的轨线来描述系统的变化时，“无穷嵌套的自相似结构”指的就是这种运动轨迹的几何形态。换言之，非整数维数给出了一个对混沌吸引子的识别判据。混沌吸引子是分数维图形，即在不断被放大时可以显示出越来越多的细节的图形，从而揭示出混沌之中隐藏着的秩序，为在种种不同的复杂系统中发现规律性开辟了道路。
引人注目的是，分数维方法正在逐渐向社会科学的领域渗透。例如在对矛盾现象进行研究时，有这样一种设想f即从分形理论出发，把复杂的矛盾变化区分为几种基本形式，诸如矛盾有规分形、矛盾定向选择分形。矛盾平行联锁分形、矛盾垂直分形等等。然后对这些基本的矛盾分形进行定量研究，即引入分数维方法计算其比例变化，用分数维的值的大小来定量地表征矛盾分形的复杂程度3。
“分数维”是继运动的“熵”之后，又一个对泥沌复杂性的量度，当然分数维的概念及其方法并非尽善尽美。比如物体维数的测定；常具有不可忽略的主观性；维数是一个非常粗放的或宏观的标度，知道了某个客体的维数，但却很难据此推知其具体的复杂程度或结构；分数维数本身还没有形成一个统一的定义，即对任何客体都适合的定义，等等应该清醒地认识到，分数维的应用范围是有一定界限的，不能企求用它来度量自然界的全部复杂性。尽管如此，在探索复杂性的进程中，分数维加深了我们对客观世界复杂性的认识和理解，它的应用前景无疑是非常广阔的。
整体与部分
整体与部分是系统论的一对范畴。系统整体性原理指出，备部分一旦组成系统整体，就具有孤立的部分所不具备的性质和功能，整体的性质和功能不等于各个部分的性质和功能相加。系统整体观强调，整体大于部分之和，整体与部分具有本质的区别，部分不具有整体性，因而部分依赖于整体的性质。但是，分形理论却揭示出部分与整体关系的另一个侧面。
曼德布罗特对分数维的研究，是为理解复杂性的一个组成部分，特别令人鼓舞的是发现了一批细致的现象，它们无规则的表观的背后有一类无穷嵌套的自相似的几何结构。其结果，世上万事万物的“无规则性”以出人意料的规则性呈现在我们面前。如果在许多复杂的图形中任取出一部分放大到原来的大小，看起来仍然与原来的图形没有什么区别，这就叫做“自相似性”。自相似性是分形理论的实质，它的提出具有重大的科学和哲学意义；自相似的概念与西方的古代文明，特别是与古老的东力传统思想有着密切的联系。古希腊哲学家阿那克萨戈拉提出了著名的种子说。认为一切复合物都是由种子构成的，每一粒种子都包含着一堆有相同部分的物体。存在物本身是由许多自身相同的部分组成的，即部分与整体相同。世界也是由许多相似的小片构成的。宇宙万物都只是种子的组合与分离。每种东西都包含着其他一切东西，任何一物在任何一物之中。莱布尼兹曾经设想，一滴水中蕴含着整个浩翰的宇宙，必然也包含着其他水滴和新创生的宇宙。居维叶则断言，科学家可以通过一根骨头再现整个动物的全貌。东方的先哲们强调宇宙的基本统一性，把万事万物看成是宇宙整体中相互依赖的、不可分割的部分，是同一终极实在的不同表现。古老的宗教典籍华严经的中心主题是所有事物和事件的统一及相互关系，也包含着朴素而神秘的自相似思想，这在因陀
罗网的隐喻中表现得很充分。据说在因陀罗的天堂里有一张宝石的网，人们可以从其中一个宝石看到反映出来的其他所有宝石。自相似性深刻地揭示了部分与部分、部分与整体相似这一宇宙的基本规律。实际上，部分与整体相似意味着部分包含了整体的全部信息。在国内，“全息”的概念，已进入了科学的各个领域，产生了时间全息、思维全息、情感全息、文化全息、生物全息、社会全息、。宇宙全息等。其实，全息理论中的“全息元”就相当于分形理论中的“分形元”或“生成元”。唯物辩证法告诉我们，整体和部分是对立的统一；整体以部分为基础，部分以整体为归宿。一般来讲，整体与部分的关系有如下两种情况：
第一，整体大于部分之和。就空间意义和显态功能而言，整体大于部分之和，即整体的性质与功能大于部分的性质与功能简单相加。例如正常人的一双眼睛的视力，就大于两只眼睛的视力之和；既时间意义和潜在功能而言，也存在着部分大于整体的情况。系统论所要阐明的正是这两种情况，并且已经得出了明确的结论。